Question

已知（1+ax）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）．（1）若a=-1，n=2012，求2012i＝0（-1）iai的值；（2）当a

已知（1+ax）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）．（1）若a=-1，n=2012，求2012i＝0（-1）iai的值；（2）当a=1时，（i）若n=8，求a0，a1，a2，…，a8中奇数的个数；（ii）若其奇数项的和为A，偶数项的和为B，求证：A2-B2=（1-x2）n；（iii）若n≥3，a1，a2，a3，a4为展开式中四个连续的项的系数，求证：a1a1+a2+a3a3+a4＝2a2a2+a3．

Answer 1

解答：（1）解：∵当a=-1，n=2012，
∴（1-x）²⁰¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，
∴a₀=

C

0 2012

，a₁=-

C

1 2012

，a₂=

C

2 2012

，a₃=-

C

3 2012

，…，a₂₀₁₂=

C

2012 2012

，
∴

2012

i＝0

（-1）ⁱa_i=

C

0 2012

+

C

1 2012

+

C

2 2012

+…+

C

2012 2012

=（1+1）²⁰¹²=2²⁰¹²．
（2）当a=1时，
（i）解：若n=8，则a₀=

C

0 8

=1，a₁=

C

1 8

=8，a₂=

C

2 8

=28，…，a₈=

C

8 8

=1，
∴a₀，a₁，a₂，…，a₈中奇数的个数只有a₀与

C

8 8

两个；
（ii）证明：∵其奇数项的和为A，偶数项的和为B，
∴A²-B²=（A+B）（A-B），
而A+B为所有项的和，即（1+x）ⁿ，
A-B是奇数项与偶数项和的差，由于展开式是奇偶相间的，那么令x=-1即可得到，所以A-B=（1-x）ⁿ，
∴A²-B²=（1+x）ⁿ?（1-x）ⁿ=（1-x²）ⁿ．得证．
（iii）证明：设a₁=

C

k n

，那么a₂=

C

k+1 n

，a₃=

C

k+2 n

，a₄=

C

k+3 n

，

a1

a1+a2

=

C k n

C k n + C k+1 n

=

n! k!(n?k)!

n! k!(n?k)! + n! (k+1)!(n?k?1)!

=

1

1+ n?k k+1

=

k+1

n+1

，
同理可得，

a2

a2+a3

=

k+2

n+1

，

a3

a3+a4

=

k+3

n+1

，

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=

k+1

n+1

+

k+3

n+1

=

2k+4

n+1

=

2(k+2)

n+1

=

2a2

a2+a3

（证毕）．