Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运

如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

（1），△BPD与△CQP是全等．理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm          …（2分）
∵D是AB的中点
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×12=6cm
∴BP=CQ，BD=CP             …（3分）
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C                    …（4分）
在△BPD和△CQP中
BP=CQ
∠B=∠C
BD=CP
∴△BPD≌△CQP（SAS）         …（6分）

（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4t
∴t的取值范围为0＜t≤3
则CP=10-2t，CQ=12-4t            …（7分）
∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4   …（8分）
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t
解得：t=1     …（9分）
②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
解得：t=

7

4

…（10分）
③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t
解得：t=

8

5

…（11分）
三种情况均符合t的取值范围．
综上所述，经过1秒或

7

4

秒或

8

5

秒时，△CPQ是等腰三角形…（12分）