Question

设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的 x∈(0， 1 2 ] ，总有4 x ≤log a x恒成立，则实数a的取

设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的 x∈(0， 1 2 ] ，总有4 x ≤log a x恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵a∈（0，1）∪（1，+∞）， 当0＜x≤ 1 2 时，函数y=4 x 的图象如下图所示： ∵对任意的 x∈(0， 1 2 ] ，总有4 x ≤log a x恒成立，若不等式4 x ＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=4 x 的图象的上方（如图中虚线所示） ∵y=log a x的图象与y=4 x 的图象交于（ 1 2 ，2）点时， a= 2 2 ， 故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足 2 2 ＜a＜1． 故答案为：（ 2 2 ，1）．