Question

在数列{an}，{bn}中，已知a1=2，b1=4，且an，-bn，an+1成等差数列，bn，-an，bn+1也成等差数列．（1）求

在数列{an}，{bn}中，已知a1=2，b1=4，且an，-bn，an+1成等差数列，bn，-an，bn+1也成等差数列．（1）求证：{an+bn}是等比数列；（2）设m是不超过100的正整数，求使an?man+1?m＝am+4am+1+4成立的所有数对（m，n）．

Answer 1

（1）由a_n，-b_n，a_n+1成等差数列可得，-2b_n=a_n+a_n+1，①
由b_n，-a_n，b_n+1成等差数列可得，-2a_n=b_n+b_n+1，②
①+②得，a_n+1+b_n+1=-3（a_n+b_n），
所以{a_n+b_n}是以6为首项、-3为公比的等比数列．        …（4分）
（2）由（1）知，an+bn＝6×(?3)n?1，③
①-②得，a_n+1-b_n+1=a_n-b_n=-2，④
③+④得，an＝

6×(?3)n?1?2

2

＝3×(?3)n?1?1，…（8分）
代入

an?m

an+1?m

＝

am+4

am+1+4

，得

3×(?3)n?1?1?m

3×(?3)n?1?m

＝

3×(?3)m?1+3

3×(?3)m+3

，
所以[3×（-3）^n-1-1-m][3×（-3）^m+3]=[3×（-3）ⁿ-1-m][3×（-3）^m-1+3]，
整理得，（m+1）（-3）^m+3×（-3）ⁿ=0，
所以m+1=（-3）^n-m+1，…（12分）
由m是不超过100的正整数，可得2≤（-3）^n-m+1≤101，
所以n-m+1=2或4，
当n-m+1=2时，m+1=9，此时m=8，则n=9，符合题意；
当n-m+1=4时，m+1=81，此时m=80，则n=83，符合题意．
故使

an?m

an+1?m

＝

am+4

am+1+4

成立的所有数对（m，n）为（8，9），（80，83）．    …（16分）