Question

已知，如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，DE切⊙O于D，DE⊥MN于E．（1）求证：AD平分∠CAM．（2）

已知，如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，DE切⊙O于D，DE⊥MN于E．（1）求证：AD平分∠CAM．（2）若DE=8cm，AE=4cm，求⊙O的半径．

Answer 1

解答：解：（1）证明：连接OD，
∵DE切圆O于D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
又∵DE⊥MB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE+∠DEB=180°，
∴OD∥MB，
∴∠ODA=∠DAE，
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DAE=∠OAD，
则AD为∠CAM的平分线；
（2）过O作OF⊥AB，显然四边形ODEF为矩形，
则OF=DE，OD=EF，
设圆的半径OD=EF=OA=rcm，由DE=8cm，AE=4cm，
得到OF=8cm，AF=EF-AE=（r-4）cm，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OA²=AF²+OF²，即r²=（r-4）²+8²，
整理得：8r=80，
解得：r=10cm．