Question

如图所示．⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D，E分别是ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，

如图所示．⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D，E分别是ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求CD的长．

Answer 1

（1）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图1，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
而∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC=∠PCB，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC⊥OC，
∴直线PC与⊙O相切；
（2）设I为△ABC的内心，如图2，
连结BI，BD，作IF⊥BC于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC=

AB2?BC2

=8，
∵I为△ABC的内心，IF为内切圆的半径，
∴IF=

6+8?10

2

=2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴△CIF和△ABD为等腰直角三角形，
∴CI=

2

IF=2

2

，BD=

2

2

AB=5

2

，
∵I为△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，
∴∠EBI=∠CBI，
∵∠DIB=∠CBI+∠BCI，
∠DBI=∠EBI+∠EBD，
而∠BCD=∠ABD，
∴∠DIB=∠DBI，
∴DI=DB=5

2

，
∴CD=CI+DI=7

2

．