已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点B(0,4),离心率e=0.6.(1)求椭圆C的方程;

已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点B(0,4),离心率e=0.6.(1)求椭圆C的方程;(2)若O(0,0),P(2,2),试探究在椭圆C内部是否存在... 已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点B(0,4),离心率e=0.6.(1)求椭圆C的方程;(2)若O(0,0),P(2,2),试探究在椭圆C内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标都是整数的点为整点),使得△OPQ的面积S△OPQ=4?若存在,请指出共有几个这样的点(不必具体求出这些点的坐标);否则,说明理由. 展开
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路过的一个16
推荐于2016-10-19 · 超过60用户采纳过TA的回答
知道答主
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(1)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),…(1分)
依题意得,b=4,
c
a
3
5
,又a2=b2+c2,…(3分)
∴a=5,b=4,c=3,…(4分)
所以椭圆C的方程为
x2
25
+
y2
16
=1
.…(5分)
(2)依题意得,|OP|=2
2
,直线OP的方程为 y=x,…(6分)
因为S△OPQ=4,点Q到直线OP的距离为2
2
,…(7分)
所以点Q在与直线OP平行且距离为2
2
的直线l上,…(8分)
设l:y=x+m,则
|m|
2
=2
2
解得m=±4,…(10分)
当m=4时,由
y=x+4
x2
25
+
y2
16
<1
,消元得41x2+200x<0,即?
200
41
<x<0
,x∈Z,∴x=-4,-3,-2,-1,相应的y也是整数,
此时满足条件的点Q有4个,…(13分)
当m=-4时,由对称性,同理也得满足条件的点Q有4个.
综上,存在满足条件的点Q,这样的点有8个.…(14分)
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