Question

记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an?2n（n∈N*

记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an?2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+a₄=6，S₄=10，
可得

2a1+4d＝6 4a1+ 4×3 2 d＝10

，（2分），
即

a1+2d＝3 2a1+3d＝5

，
解得

a1＝1 d＝1

，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（5分）
（Ⅱ）依题意，b_n=a_n?2ⁿ=n?2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂++b_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ，（7分）
又2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，（9分）
两式相减得-T_n=（2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ）-n?2ⁿ⁺¹（11分）=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，（12分）
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．（13分）