Question

如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P

如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

对于①，由题意知AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变，故①正确；
对于②，连接A₁B，A₁C₁，A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，
若DP⊥BC₁，则BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．