Question

已知函数f（x）=b?ax（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）试确定f（

已知函数f（x）=b?ax（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）试确定f（x）．（2）若不等式（1a）x+（1b）x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）将A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b?a^x
得6=ab，24=ba³，
解得a=2，b=3．
（2）∵（

1

2

）^x+（

1

3

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，
∴m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x∈（-∞，1]时恒成立，
∴m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min  x∈（-∞，1]，
令f（x）=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x x∈（-∞，1]，
任取x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=(

1

2

)x1?(

1

2

)x2+(

1

3

)x1?(

1

3

)x2①
∵y＝(

1

2

)x与y＝(

1

3

)x在R上是减函数，
∴(

1

2

)x1＞(

1

2

)x2，（(

1

3

)x1＞(

1

3

)x2，
∴①式＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，1]上是减函数，
f（x）_min=f（1）=

5

6

，
∴m≤

5

6

．