Question

设函数f（x）=ln（x+a）+2x2．（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值；（2）在（1）的条件下，方程ln

设函数f（x）=ln（x+a）+2x2．（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值；（2）在（1）的条件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三个零点，求m的取值范围；（3）当0＜a＜1时，解不等式f（2x-1）＜lna．

Answer 1

∵f（x）=ln（x+a）+2x²．∴f'（x）=

1

x+a

+4x
（1）由f'（-1）=

1

-1+a

-4=0?a=

5

4

所以a的值为

5

4

．

（2）由（1）得f'（x）=

1

x+ 5 4

+4x=

(4x+1)(x+1)

x+ 5 4

，又因为x+

5

4

＞0，
所以f'（x）＞0?x＞-

1

4

，f'（x）＜0?-

5

4

x＜-1，
故f（x）的极大值为f（-

1

4

）=

1

4

，极小值伏盯顷为f（-1）=2+ln

1

4

，
ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三个缺陆零点须有2+ln

1

4

＜m＜

1

4

，
故m的取值范则雹围是（2+ln

1

4

，

1

4

）．

（3）因为f'（x）=

1

x+a

+4x=

4x2+4ax+1

x+a

，
且f'（x）=0?x₁=

-a+ a2+1

2

＞0，x₂=

-a- a2+1

2

＜-a，
故f（x）在（-a，0）上递减．又f（0）=lna．所以f（2x-1）＜lna?2x-1＞0?x＞

1

2