Question

（2012?盐城）如图所示，AC⊥AB，AB=23，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，

（2012?盐城）如图所示，AC⊥AB，AB=23，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α（0°＜α＜90°）．（1）当α=18°时，求BD的长；（2）当α=30°时，求线段BE的长；（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______．（直接写出答案）





Answer 1

（1）连接OD，
∵α=18°，
∴∠DOB=2α=36°，
∵AB=2

3

，
∴⊙O的半径为：

3

，
∴

BD

的长为：

36×π× 3

180

=

3

5

π；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵α=30°，
∴∠B=60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB=∠CDE=90°，
∴∠CAD=90°-α=60°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴

AC

BE

＝

AD

BD

，
∵AB=2

3

，α=30°，
∴BD=

1

2

AB=

3

，
∴AD=

AB2?BD2

=3，
∴

2

BE

＝

3

3

，
∴BE=

2 3

3

；
经检验，BE=

2 3

3

是原分式方程的解．

（3）如图，当E与A重合时，
∵AB是直径，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共线，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2

3

，AC=2，
∴tan∠ABC=

AC

AB

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°，
当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．