Question

极坐标下交换积分次序如何求解呀？ 有图最好，帮忙解释一下。

Answer 1

1. 本题的积分区域，请参看下面的第一张图片；

2. 原来的积分次序，一次性地包括了粉红色部分跟草绿色部分；

3. 交换积分次序后，积分区域就变成了两部分 ： 粉红色部分 + 草绿色部分；

4. 极坐标积分的积分次序的意思是：

A、先对 r 积分的意思，一个极经，从原点射出 r = 0，射到极坐标方程的曲线上；然后这个极经，逆时针扫过的角度，就是θ的范围。

B、先对 θ 积分的思想，从圆心开始画同心圆弧，圆弧的角度，也就是圆心角 central angle，逆时针从最下方的曲线或直线上的角度，扫到最上方的曲线或直线上的角度，这个角度必要用极坐标方程表示，也就是必须是 r 的函数；然后从扫过的范围中，确定 r 是从多少到多少，都是具体的数字。

有了这些思想，就容易看懂第二张图片的解答了。

拓展资料：

在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

两坐标系转换

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值

x = rcos（θ），

y = rsin（θ），

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：，θ = arctan(y/x)

在x = 0的情况下：若y为正数θ = 90° （  rad)；若y为负数，则θ = 270° (  rad)。

参考资料：百度百科：极坐标

Answer 2

1、本题的积分区域，请参看下面的第一张图片；

2、原来的积分次序，一次性地包括了粉红色部分跟草绿色部分；

3、交换积分次序后，积分区域就变成了两部分 ： 粉红色部分 + 草绿色部分；

4、极坐标积分的积分次序的意思是：

A、先对 r 积分的意思

---一个极经，从原点射出 r = 0，射到极坐标方程的曲线上；

---然后这个极经，逆时针扫过的角度，就是θ的范围。

B、先对 θ 积分的思想

---从圆心开始画同心圆弧，圆弧的角度，也就是圆心角 central angle，

     逆时针从最下方的曲线或直线上的角度，扫到最上方的曲线或直线上的角度，

     这个角度必要用极坐标方程表示，也就是必须是 r 的函数；

---然后从扫过的范围中，确定 r 是从多少到多少，都是具体的数字。

有了这些思想，就容易看懂第二张图片的解答了。

如有疑问，欢迎追问，有问必答、有疑必释，有错必纠。

Answer 3

【为叙述方便，用“直角坐标系下”与“极坐标系下”交互方式描述】∵由题设条件，积分区域D是由y=-x与(x-1)²+y²=1所围成的闭区域，∴y=-x与(x-1)²+y²=1的交点为O(0,0)、A(1,-1)）。
换成以O为极点、X轴正向为极轴的极坐标系，设x=rcosθ，y=rsinθ，∴可将积分区域表示为D={(r,θ)丨0≤r≤2，-π/4≤θ≤arccos(r/2)}【设α=arccos(r/2)】。
过A作直线l垂直于X轴，则将r的范围分成了{r丨0≤r≤√2}∪{r丨√2≤r≤2}，而在0≤r≤√2时，-π/4≤θ≤α；√2≤r≤2时，-α≤θ≤α。
∴原式=∫(0,√2)dr∫(-π/4,α)f(rcosθ,rsinθ)rdθ+ ∫(√2,2)dr∫(-α,α)f(rcosθ,rsinθ)rdθ。
【另外，后一个积分亦可表示为"∫(√2,2)dr∫(-π/4,π/4)f(rcosθ,rsinθ)rdθ"】供参考。

Answer 4

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 5

将极坐标按直角坐标系处理，感觉比最佳答案更好理解一些，参考这篇博客：

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