Question

设f（x）在［0，1］上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明：对于任意小于1的正数a(0<a<

设f（x）在［0，1］上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明：对于任意小于1的正数a(0<a<1)，必有＆属于［0，1］，使得f(&)=f(&+a).

Answer 1

[0,1]上连续非负函数 f(0)和f(1)在[0,1]上为最小值 令F(x)=f(x)-f(x+a)
F(x)连续
F(0)=1-f(a)<0
F(1-a)=f(1-a)-f(1)>0
F(0)*F(1-a)<0
由连续函数零点定理知道F(x)在（0,1-a）之间肯定有零点即肯定存在一点ξ使得f(ξ)=f(ξ+a) 0<a<1
所以0<1-a<1原题可证

追问

问您一下F(1-a)是怎么来的呢？F(0)=1-f(a)<0怎么来的啊

大神！帮帮忙吧

追答

令F(x)=f(x)-f(x+a)
令x=1-a
F(1-a)=f(1-a)-f(1)

追问

您的意思是F(x)在［0，1-a］连续是吗？为什么是［0，1-a］呢？