Question

高等数学等价无穷小替换证明，谁能给我证明一下（要过程）？

Answer 1

洛必达法则，[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1，那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限。

lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)

=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)

=lim(x->0) 2sinx/(2x)

=1

1- cosx ~ x^2/2

无穷小的性质：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

Answer 2

洛必达法则呀 [ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1.那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限

lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)

=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)

=lim(x->0) 2sinx/(2x)

=1

=>

1- cosx ~ x^2/2

扩展资料：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

参考资料来源：百度百科-无穷小量

Answer 3

Answer 4

：洛必达法则呀 [ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1.那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限了吗?

Answer 5