Question

第五题怎么证明，图片那后面是至少有一点ξ使得

Answer 1

证明：因为f(x)在[a,b]上连续，又[a,b]∈(x1,xn)，
所以f(x)在(x1,xn)上必有最大值M,最小值m,
于是
m≤f(x1)≤M
m≤f(x2)≤M
m≤f(x3)≤M
............................
m≤f(xn)≤M
把以上各式累加得
即有nm≤f(x1)+f(x2)+.........+f(xn)≤nM
即m≤[f(x1)+f(x2)+.........+f(xn)]/n≤M
由连续函数的介值定理，知道 存在ζ∈(x1,xn)，
使得f(ζ)=[f(x1)+f(x2)+.........+f(xn)]/n成立。