Question

已知f(x)=x^3-1/2x^2+bx+c

1，若f（x）的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围
2，若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]，f（x）＜c^2恒成立，求C的取值范围。

Answer 1

1.f(x)=x^3 -(1/2)x^+bx+c
<=>f'(x)=3x^-x+b
条件中所述：f(x)凸显与x轴平行的切线，意味着方程：f'(x)=3x^-x+b=0存在实根，由此可得：
△=(-1)^-4*3*b≥0
<=>b∈(-∞,1/12]

2.f(x)在x=1处取得极值，说明f'(1)=3*1^-1+b=0
<=>b=-2

于是，原f(x)化为：
y=x^3-(1/2)x^-2x+c

而f'(x)=3x^-x-2=(3x+2)(x-1)
令f'(x)=0,可求出f(x)的两个驻点是x=-2/3和x=1
判断f(x)单调性：
当x∈(-∞,-2/3)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；
当x∈(-2/3,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增

由此，可判断出：在区间[-1,2]中，f(x)的最值只会出现在-1,-2/3,1,2这四个位置！
根据刚刚得出的f(x)单调性，可确定：f(-2/3)>f(-1),f(-2/3)>f(1),f(2)>f(1)
由此可知，f(x)在此区间上的最大值在f(-2/3)和f(2)两值之间产生
具体可求出：
f(-2/3)=c +22/27
f(2)=c +2
可见：f(2)>f(-2/3)
∴f(2)是f(x)在[-1,2]上的最大值

而想要让x∈[-1,2]，f(x)<c^恒成立，只需使f(x)在[-1,2]上的最大值f(2)=c+2小于c^即可，于是有：
c+2<c^
<=>c^-c-2>0
<=>c>2或c<-1
∴c的取值范围是：(-∞,-1)∪(2,+∞)

Answer 2

b(0,1/2),