线性代数证明子空间的基一定能扩充成全空间的基
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假定全空间是有限维的（无限维空间要用Zorn引理，或者说在ZF公理体系下结论不成立）
先取全空间的一组基{e_i}和子空间的一组基{f_i}，然后把{f_i}中的向量逐个加入到{e_i}中并替换掉可以线性表示出来的向量就行了
比如说，f1可以由某些ei非零线性表示，把这些ei中的一个换成f1之后仍然是全空间的基
然后把f2放进来，再替换掉一个ei，如此一直下去就行了
先取全空间的一组基{e_i}和子空间的一组基{f_i}，然后把{f_i}中的向量逐个加入到{e_i}中并替换掉可以线性表示出来的向量就行了
比如说，f1可以由某些ei非零线性表示，把这些ei中的一个换成f1之后仍然是全空间的基
然后把f2放进来，再替换掉一个ei，如此一直下去就行了
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