Question

已知抛物线y²=4x。 1.设点A坐标(0，3).求抛物线上距离点A最近的点P的坐标

已知抛物线y²=4x。
1.设点A坐标(0，3).求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距|PA|
2.在抛物线上求一点P,使其到直线x＋2y+8=0的距离最短，并求最短距离。

Answer 1

设p(1/4*t^2,t)
1，
g(t)=PA^2=(1/4*t^2)^2+(t-3)^2=1/16*t^4+t^2-6t+9
g'(t)=1/4*t^3+2t-6=1/4*(t-2)(t^2+2t+12)
g‘’(t)=3/4*t^2+2>0
则g'(t)在R区间内单调增
令g'(t)=1/4*(t-2)(t^2+2t+12)=0
解之得,t=2
即当t=2时，g(t)有极小值为2
此时，点P(1,2),PA=根号2
2
点P到直线的距离为L
L=[绝对值1/4*t^2+2t+8]/（根号5）
=1/（根号5）*1/4*[绝对值*t^2+8t+32]
=1/（根号5）*1/4*{绝对值{[t+4）^2+16]}
当t=-4时，L有最小值为4（根号5）/5,此时点P（4，-4）