Question

两道抽象代数题求助

要思路过程49我能排除A和D，其他选项怎么想？66我能排除I，其他的呢？

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Answer 1

这两个问题都不是很难。
关于49题：由于G的一个子群的阶为7，根据拉格朗日定理可知7整除G的阶，又根据题意G中没有二阶元素，因此只能选择C

关于66题，根据环的右理想的定义，我们可以知道如果R只有两个右理想，那么R必然只有两个加法群，这等价于说R中没有非平凡的加法子群，因此R中的元素（除0以外）必然是可逆的，因此R是一个除环。

追问

49. “G中没有二阶元素，因此只能选择C”这是为啥？是因为如果有二阶元素，那么它生成的子群必然整除G的阶数n，所以不能是偶数阶？可是，没有二阶元素，但可能有四阶元素，那它生成的子群也需要整除n,岂不是又自相矛盾了？

66. 为啥“R中没有非平凡的加法子群，因此R中的元素（除0以外）必然是可逆的”？

追答

49. 选项B、E均为偶数阶，因此必然有二阶元素。这与已知矛盾。
PS：关于偶数阶群必有二阶元素这个结论建议你自己思考一下。
66. 因为R中没有非平凡的加法子群，因此R中的元素（除0以外）必然是可逆的。否则的话如果有一个元素a不是可逆的，取（a）这个加法群，显然是一个非平凡加法子群这就与已知的仅有平凡加法群矛盾了