Question

求问在线等急，一道抽象代数的题

在线等，急求，谢谢各位大哥大姐Let 𝑍 denote the centre of a group 𝐺 , and let 𝜙 : 𝐺 −→ 𝐺 be an automorphism. Show that 𝜙 (𝑍 ) = 𝑍 .

Answer 1

Z={x∈G|xa=ax, ∀a∈G}。
首先证明Φ(Z)∈Z：由于Φ是双射，对任意z∈Z，a∈G，存在a'∈G使得Φ(a')=a，此时有Φ(a'z)=Φ(za')=Φ(a')Φ(z)=Φ(z)Φ(a')=aΦ(z)=Φ(z)a。因此对任意a∈G，Φ(z)可以与a交换，因此Φ(z)∈Z对任意z∈Z成立。Φ(Z)∈Z得证。
其次证明Z∈Φ(Z)。对任意z∈Z，存在z'使得Φ(z')=z。假设z'∉Z，那么存在a使得z'a≠az'，此时由于z与任意元素可交换，Φ(z'a)=Φ(z')Φ(a)=zΦ(a)=Φ(a)z=Φ(a)Φ(z')=Φ(az')，这与z'a≠az'及Φ是双射矛盾。因此对任意z∈Z，都存在z'∈Z使得Φ(z')=z，即Z∈Φ(Z)得证。
通过上面两条结论就可以证明Φ(Z)=Z。
希望对你有帮助，望采纳。
有什么问题可以提问。

Answer 2

𝜙 (x)𝜙 (a)=𝜙 (xa)=𝜙 (ax)=𝜙 (a)𝜙 (x) for each x in 𝑍 for all a in 𝐺.