Question

证明y=(1+x)²/1+x²在(-∞，+∞）内是有界函数

Answer 1

y=(1+x)²/(1+x²)
=(1+x^2+2x)/(1+x²)
=1+2x/(1+x²)
要证明函数有界，需证明2x/(1+x²)有界
因为1+x²≥2x（基本不等式）
所以2x/(1+x²)≤2x/2x=1
所以y=(1+x)²/1+x²，在(-∞，+∞）的值域为y≤2
又因为y=(1+x)²/1+x²分母和分子均≥0，
所以y≥0
综上y=(1+x)²/1+x²，在(-∞，+∞）的值域为0≤y≤2
所以y=(1+x)²/1+x²在(-∞，+∞）内是有界函数

追问

我觉得先将分母（1+x）²展开来，变为1+（2x/1+x²）,然后分子分母同除x，得1+[2/（1/x）+x],利用不等式，解得[-1,3]

可以吗

Answer 2

lin y=(1+x)²/1+x² =（x^2+2x+1）/(1+x^2)
x->+无穷

= lin （x^2+2x+1）/(1+x^2)
x->+无穷
= lin （1+2/x+1/x^2）/(1/x^2+1)
x->+无穷
=1
同理可证的
lin y=(1+x)²/1+x² =（x^2+2x+1）/(1+x^2)
x->-无穷
=1
当x=0时 y=1