Question

求解一道二重积分

求解一道二重积分我可不可以做一条y=-x^3的辅助线 然后利用奇偶性做 用完奇偶性就是对x在 -1<=x<=0, 0<=y<=-x^3上二重积分

Answer 1

如果做辅助线-x³的话，

如图

在一区域，函数=x[1+yf(x²+y²)]，显然由对称性是0.

在二区域，函数拆分为x+xyf(x²+y²)

对于xyf(x²+y²)，在二区域也是对称的，为0.

所以积分x的区域是x∈(-1,0)，y∈(x³，-x³)

原式=∫(-1,0)dx∫dy(x³，-x³)x=∫(-1,0)-2x^4dx=-2/5.