Question

x展开成x的幂级数，怎么展开

Answer 1

解：f(x)=(3x-5)/[(x-3)(x-1)]=A/(x-1)+B/(x-3)

A(x-3)+B(x-1)=(A+B)x-3A-B=3x-5; 对比系数:A+B=3,-3A-B=-5; 得：2A=2，A=1；B=2；

f(x)=1/(x-1)+2/(x-3)=-1/(1-x)-(2/3)*1/(1-x/3)=-[1+(-x)]^(-1)-(2/3)[1+(-x/3)]^(-1);

分别应用公式（1+x)^a=1+ax+a(a-1)x^2/2!+......+a(a-1)......(a-n+1)x^n/n!+Rn(x)。

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

绝对收敛级数：

一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。

以上内容参考：百度百科-幂级数 

Answer 2

1-(sinx)^3=1-sinx[1-(cosx)^2]=1-sinx+sinx(cosx)^2
设：u=cosx,则du=-sinxdx；又当x=0,π时,u=1,-1
所以：
∫[0,π]:[1-(sinx)^3]dx
=∫[0,π]:[1-sinx+sinx(cosx)^2]dx
=∫[0,π]:dx-∫[0,π]:sinxdx+∫[0,π]:sinx(cosx)^2]dx
=π+∫[1,-1]:du-∫[1,-1]:u^2du
=π-∫[-1,1]:du+∫[-1,1]:u^2du
=π-2+(2/3)
=π-(4/3)

Answer 3

如果你的x在原题中是周期中的一部分，你可以采用傅立叶级数。如果这个x是在求将f(x)展成x的幂级数中的一项，要知道x在邻域内不具有任意阶导数，它的幂级数就是它自己。这样做就可以得到正确答案了。