Question

幂级数的问题

幂级数的问题求这个幂级数的收敛域 ！谢大佬们啦

Answer 1

设Un=2^(n+1) * (x+1)^n/√(n+1)
Un+1=2^(n+2) * (x+1)^(n+1)/√(n+2)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim |2^(n+2) * (x+1)^(n+1)/√(n+2)/2^(n+1) * (x+1)^n/√(n+1)|
=lim 2|x+1| √(n+1)/√(n+2)
=lim 2|x+1| √(1+1/n)/√(1+2/n)
=2|x+1|＜1
|x+1|＜1/2
收敛区间为(-3/2，-1/2)
当x=-1/2时，
Un=2*2^n*(1/2)^n/√(n+1)
=2/√(n+1)
跟1/√n比较
lim Un/(1/√n)
=lim 2/√(n+1)/(1/√n)
=lim 2√n/√(n+1)
=lim 2/√(1+1/n)
=2
而1/√n发散，所以此时级数发散。
当x=-3/2时，
Un=2*2^n*(-1/2)^n/√(n+1)
=2*(-1)^n/√(n+1)
用莱布尼茨判别法
An=2/√(n+1)
An+1=2/√(n+2)＜An
lim n→∞ An
=lim 2/√(n+1)=0
所以满足莱布尼茨公式，故此时级数收敛。
综上收敛域为[-3/2，-1/2)