Question

已知函数fx=ax-Inx,当x大于等于1时，fx大于等于a分之一恒成立，求a的取值

已知函数fx=ax-Inx,当x大于等于1时，fx大于等于a分之一恒成立，求a的取值范围

Answer 1

⑴f'(x)=(lnx-1)/ln2x+a

当x>1时，f'(x)恒大于0
令g(x)=(lnx-1)/ln2x+a x>1
g'(x)=[2-lnx]/x·ln3x
驻点：x?=e2
1<x<x?,g'(x)>0,g(x)单调递增，x>x?,g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x?)是最小值
∴g(x)≥(2-1)/4+a
∴当a>-1/4 时，g(x)恒大于0
即实数a的取值范围是a>-1/4
⑵a=2

驻点：(lnx-1)/ln2x+2=0
2ln2x+lnx-1=0
lnx=(-1±3)/4
∵x>1→lnx>0,
∴lnx=1/2
x?=√e>1
∴f(x)的最小值=f(√e)=4√e