Question

如何处理立体几何中空间图形的翻折问题

Answer 1

多看些图,锻炼 !空间想象力是人们对客观事物的空间形式(空间几何形体)进行观察、分析、认知的抽象思维能力,它主要包括下面三个方面的内容：(1)能根据空间几何形体或根据表述几何形体的语言、符号,在大脑中展现出相应的空间几何图形,并能正确想象其直观图．(2)能根据直观图,在大脑中展现出直观图表现的的几何形体及其组成部分的形状、位置关系和数量关系．(3)能对头脑中已有的空间几何形体进行分解、组合,产生新的空间几何形体,并正确分析其位置关系和数量关系． 培养学生的空间想象力是中学数学教学的主要任务之一,同时也是难点之一．在教学中如果对空间想象力这一名词只是提的多,理性分析不够,不能把握其培养规律,就可能造成这样的结果：少部分有悟性的学生的空间想象力得到了提高,而大部分学生则收益甚少,乃至于视《立体几何》的学习为畏途．
辩证唯物主义认为,任何事物的变化发展都有其内在规律．空间想象力的提高也是如此,它是逐级向上的,即有明显的层次性．教师惟有把握好这一规律,将之有机地渗透到教学实践中去,有意识、有针对性地采取得当的教学方法和措施,才能有效地提高学生的空间想象力．
空间想象力的培养
根据空间想象力的提高有层次性这一特点,空间想象力的培养可以细分为如下几个过程．
过程1 强化学生对三维空间的认知．
作为高中学生,他们已有了二维空间(平面)的知识,对三维空间的感知也有,但对三维空间的无限性、复杂性认识不够．因此,通过对直线的无限延伸、平面的无限延展性的认识；通过比较平面内与空间中两直线位置关系的不同；通过认识线面关系、面面关系来强化学生对三维空间的认识就显得尤为重要．
在教学实践中,我通常在立体几何教学的第一或第二节课中设置下列问题：
1．一个平面可以将空间分成几个部分?二个平面呢?三个平面?试摆出模型加以说明．
2．空间三条直线的位置有多少种可能?
3．两条直线与一个平面的位置有多少种可能?
4．两条直线与二个平面的位置有多少种可能?
对这些问题,学生的回答不一定准确,但通过思考和摆置模型,学生对三维空间的认知得到了强化．
过程2 培养学生由实物模型出发的空间想象能力．
通过展现立体几何教学模型或认识生活中的模型(如楼层),并让学生想象看不见的部分,想象线面继续延伸、延展之后的情况,有助于培养学生的空间想象力．
过程3 作图能力的培养．
作空间图形的直观图,实质是空间图形的平面化表示,其原则是看起来要“像”．作图要规范,因为规范作图实际上是对“如何作几何体的平面图”与“平面图如何看(想象)成体”这两个问题的大众化的统一回答．
过去,我是按教材的三步法“示例—总结步骤—学生模仿”来进行“斜二测法”的教学的,但效果不理想．大多数学生的作图总是不够规范,作出来的图不“像”,常常把实线画成虚线,虚线画成实线．为了克服学生作图不规范,不“像”的毛病,我采取了如下的措施：上课时让学生上黑板画图,然后师生共同评析,看哪个同学画得好,优点在哪里,存在哪些毛病；印发常见的基本直观图给学生,让学生反复观摩,然后再画出来,作为作业；课外组织学生进行“画直观图比赛”．这些措施激发了学生的学习兴趣,使学生认识到规范作图的重要性,增强了学生的作图能力．
过程4 培养学生由直观图出发的空间想象能力．
这一过程要分两步走：第一步是先根据平面图找模型,再依据模型来想象．当第一步达到一定熟练程度之后,便实施了第二步,即直接根据平面图出发进行空间图形(体)的直观形象的想象．
多让学生制作模型,对培养学生的空间想象力是一项非常有益的活动．模型的制作应由简单到复杂,简单的如图一,中等的如图二,复杂的如图三．
另外,让学生制作正方体,正四面体,正八面体的模型是必不可少的课外作业,这既有助于学生提高空间想象力,也使学生领悟到这些几何体的和谐美,对称美,从而增加学习数学的兴趣．
过程5 培养学生由条件出发的空间想象力．
即培养学生由描述几何形体的条件就可以想象出空间图形(体)的直观形象的能力．这一能力分成两个层次：第一层次是根据描述几何形体的条件作出直观图(或找模型),再根据直观图(或模型)想象出几何形体的直观形象；第二层次是直接由条件出发进行直观形象的想象．
通过多年的教学实践,我认识到多做类似下面的练习,对提高学生空间想象力有事半功倍的效果．
试想象(离开模型、图形)正方体ABCD-A1B1C1D1中：
①各顶点的位置；
②在各棱所在的直线中,与直线AB平行的直线有哪些?
③在各棱所在的直线中,与直线AB相交的直线有哪些?
④在各棱所在的直线中,与直线AB异面的直线有哪些?
⑤在各顶点连线中,与直线AB成45°角的直线有哪些?
过程6 培养学生对空间图形(体)的分解,组合和变形的想象能力．
这一能力的实质是对空间图形中点、线、面的位置关系与数量关系的认识与想象．精选例题,精选练习,引导学生大胆思考,深入探索,对提高学生这方面的能力十分重要,下面是两道我采用的例题．
例1 在△ABC中,A(0,0),B(1,3),C(3,2),将△ABC绕y轴旋转一周,求所得几何体的表面积．
例2 有一个半径为5cm的球,以它的一条直径为轴,钻一个半径为2cm的孔,求剩余部分的表面积．
以上的培养学生的空间想象力的6个过程中,过程1、2是基础,过程3是关键,这3个过程的教学工作做好了,后面3个过程的教学工作才有望顺利完成,6个过程并不是彼此孤立的,而是互相交错,相辅相成的．在每一个过程中,都要刻意做好两件工作,其一是对空间图形的直观形象的想象,其二是对空间图形中点、线、面的位置关系的认识与想象．《立体几何》的教学过程是一个严密的知识体系的发展过程,这一过程隐含着内在的空间想象力的培养过程,两者具有高度的统一性．因此,空间想象力的培养是有机地渗透到立体几何的教学过程中去的．
空间想象力的培养是一个从无到有、从有到好的过程,但能力的培养不是一节两节课就能实现的,必须贯穿教学的始终；要注意克服学生中存在的畏惧心理,激发学生的学习热情．