Question

一个直角三角形的三条边长均为整数,它的一条直角边的长为15,那么另一条

一个直角三角形的三条边长均为整数,它的一条直角边的长为15,那么另一条边的长 （ ）种可能，其中最大值是（ ）

Answer 1

设另一直角边长和斜边长分别是Z，X，显然X>Z>0
根据直角三角形的边长关系有：15^2=X^2-Z^2
即：15^2=(X+Z)(X-Z)
式中 X+Z 和 X-Z 分别是大于零的整数，且满足：X+Z > X-Z > 0
再来看看15^2＝225这个数的因数：1，3，5，9，15，25，45，75，225。
也就是 X-Z 和 X+Z 这两个数必定取这些因数中的数！
由于 X-Z < X+Z，它们可以取：
X-Z=1，X+Z＝225，解这个联立方程，得2X=226,X=113,Z=112
X-Z=3，X+Z＝75，解这个联立方程，得2X=78,X=39,Z=36
X-Z=5，X+Z＝45，解这个联立方程，得2X=50,X=25,Z=20
X-Z=9，X+Z＝25，解这个联立方程，得2X=34,X=17,Z=8
X-Z=15，X+Z＝15，已经与题意不相符了！
所以，共有四个整数解：
X=113,Z=112
X=39,Z=36
X=25,Z=20
X=17,Z=8
所以，另一条直角边的长度只有（ 4 ）种可能，其中最大值是 （ 112 ） 。

Answer 2

设另一直角边长和斜边长分别是Z，X，显然X>Z>0
根据直角三角形的边长关系有：15^2=X^2-Z^2
即：15^2=(X+Z)(X-Z)
式中X+Z和X-Z分别是大于零的整数，且满足：X+Z>X-Z>0
再来看看15^2＝225这个数的因数：1，3，5，9，15，25，45，75，225。
也就是X-Z和X+Z这两个数必定取这些因数中的数！
由于X-Z<X+Z，它们可以取：
X-Z=1，X+Z＝225，解这个联立方程，得2X=226,X=113,Z=112
X-Z=3，X+Z＝75，解这个联立方程，得2X=78,X=39,Z=36
X-Z=5，X+Z＝45，解这个联立方程，得2X=50,X=25,Z=20
X-Z=9，X+Z＝25，解这个联立方程，得2X=34,X=17,Z=8
X-Z=15，X+Z＝15，已经与题意不相符了！
所以，共有四个整数解：
X=113,Z=112
X=39,Z=36
X=25,Z=20
X=17,Z=8
所以，另一条直角边的长度只有（4）种可能，其中最大值是（112）。