Question

高中数学数列题，大神帮忙看看

Answer 1

(1)
Sn²-(2n²+2n-3)Sn-6(n²+n)=0
(Sn-2n²-2n)(Sn+3)=0
数列各项均为正，Sn>0，因此只有Sn=2n²+2n
n=1时，a1=S1=2·1²+2·1=4
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=2n²+2n-[2(n-1)²+2(n-1)]=4n
n=1时，a1=4·1=4，a1=4同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=4n
(2)
n=1时，c1=¼a1=¼·4=1
n≥2时，
c1+4c2+9c3+...+n²cn=¼an
c1+4c2+9c3+...+(n-1)²c(n-1)=¼a(n-1)
n²cn=¼an-¼a(n-1)=¼[an-a(n-1)]=¼[4n-4(n-1)]=1
cn=1/n²
n=1时，c1=1/1²=1<2，不等式成立。
n≥2时，
c1+c2+c3+...+cn=1+ 1/2² +1/3²+...+1/n²
<1+ 1/(1×2)+ 1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1 -1/2 +1/2 -1/3+...+1/(n-1) -1/n
=2- 1/n
1/n>0，2- 1/n<2
c1+c2+c3+...+cn<2，不等式同样成立
综上，得：对于一切正整数n，有c1+c2+...+cn<2

Answer 2

解方程可得到 S[n]=2n(n+1) (注;还有一解为Sn=-3，因an正，所以Sn>0,舍去)
a[1]=S[1]=4
a[n]=S[n]-S[n-1]=2n(n+1)-2(n-1)n=4n
综合可得到an通项公式 a[n]=4n

(2) c[1]=a[1]/4=1
n²c[n]=a[n]/4-a[n-1]/4=n-(n-1)=1
c[n]=1/n²
注意c[n]<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
c[1]=1
c[2]<1-1/2
c[3]<1/2-1/3
..........
c[n]<1/(n-1)-1/n
全部加起来可得到 c[1]+c[2]+c[3]+...+c[n]<2-1/n<2