Question

f(x)=x2+|x+1-a|若对任意x∈R，不等式f(x)≥2|x-a|恒成立，求a取值范围

求

Answer 1

• 令g(x)=f(x)-2|x-a|=x²+|x+1-a|-2|x-a|

• a≤0时，

  g(x)=x²+x-1-a  (x≤a-1)          ①

  对称轴x=-½ 区间位于对称轴左侧，单调递减 最小值=g(a-1)=a²-2a>0 恒成立

  g(x)=x²+3x+1-3a  (a-1≤x≤a) ②

  对称轴x=-3/2 
  

  a≤-½时，区间包含顶点，最小值=g(-3/2)=-3a-5/4≥0恒成立

  a≥-½时，区间位于对称轴右侧，单调递增 最小值=g(a-1)=a²-2a-1→a≤1-√2

  g(x)=x²-x+1+a    (x≥a)            ③

  对称轴x=½ 区间包含顶点，最小值=g(½) 最小值=g(½)=¾+a≥0→a≥-¾

  a∈[-¾,1-√2]

• a>0时 f(-1)=1+a-2(1+a)=-a-1<0 不等式不恒成立。

  综上a∈[-¾,1-√2]