如图,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD
如图,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.(1)求证:PM=PN;(2)求∠M...
如图,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.(1)求证:PM=PN;(2)求∠MPN的度数
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(1)证明:连结AE、CD,
由题意可知:AB=BD,BE=BC,角ABE=角DBC=120度,
所以 三角形ABE全等于三角形DBC(SAS),
所以 AE=CD,
又 点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点,
所以 PM=CD/2,PN=AE/2,
所以 PM=PN。
(2)解:因为 三角形ABE全等于三角形DBC,
所以 角AEB=角DCB,
因为 点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点,
所以 PM//CD,PN//AE,
所以 角APM=角DCB,角BAE=角CPN,
所以 角APM=角AEB,
因为 角ABE=120度,
所以 角AEB+角BAE=60度,
所以 角APM+角CPN=60度,
所以 角MPN=120度。
由题意可知:AB=BD,BE=BC,角ABE=角DBC=120度,
所以 三角形ABE全等于三角形DBC(SAS),
所以 AE=CD,
又 点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点,
所以 PM=CD/2,PN=AE/2,
所以 PM=PN。
(2)解:因为 三角形ABE全等于三角形DBC,
所以 角AEB=角DCB,
因为 点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点,
所以 PM//CD,PN//AE,
所以 角APM=角DCB,角BAE=角CPN,
所以 角APM=角AEB,
因为 角ABE=120度,
所以 角AEB+角BAE=60度,
所以 角APM+角CPN=60度,
所以 角MPN=120度。
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(1)辅助线:连接DC和EA。
∵M是DA中点,P是AC中点,N是EC中点,
∴MP是△ADC的中位线,PN是△AEC的中位线。
∴MP=0.5DC,PN=0.5AE。
∵△ADC、△BEC为等边三角形,
∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°。
∴∠DBE=180°-∠ABD-∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=120°=∠DBE+∠EBC=∠DBC,
∵AB=DB,BE=BC,∠ABE=∠DBC,
∴△ABD≌△EBC。(S.A.S.)
∴DC=AE,
∴PM=PN。证毕。
(2)
∠MPN=180°-∠NPA-∠NPC=180°-∠DCA-∠EAC(中位线平行于底边,同位角的心智)=180°-∠DCA-∠BDC(全等三角形对应角相等)=∠DBC=120°
所以∠MPN=120°。
∵M是DA中点,P是AC中点,N是EC中点,
∴MP是△ADC的中位线,PN是△AEC的中位线。
∴MP=0.5DC,PN=0.5AE。
∵△ADC、△BEC为等边三角形,
∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°。
∴∠DBE=180°-∠ABD-∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=120°=∠DBE+∠EBC=∠DBC,
∵AB=DB,BE=BC,∠ABE=∠DBC,
∴△ABD≌△EBC。(S.A.S.)
∴DC=AE,
∴PM=PN。证毕。
(2)
∠MPN=180°-∠NPA-∠NPC=180°-∠DCA-∠EAC(中位线平行于底边,同位角的心智)=180°-∠DCA-∠BDC(全等三角形对应角相等)=∠DBC=120°
所以∠MPN=120°。
追问
(1)中△ABD≌△EBC应该是△ABE≌△DBC吧
追答
是的,不好意思打错了。
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