Question

求由三个圆柱面x^2+y^2=R^2,x^2+z^2=R^2,y^2+z^2=R^2围成的立体的体积

这一题我十分不理解参考答案进行极坐标变换时将x=Rcosθ的行为，R明明是个常量。有没有理解答案或者是能算出正确答案的人能解释一下？

Answer 1

画图理解即可。

V=∫∫ [（6 - 2x^2 - y^2）－（a^2-y^2）]dxdy

=∫∫ [（6 - 2x^2-a^2）]dxdy

=∫ [（6x - 2/3x^3-a^2x）]dy

=(6-a^2)xy- 2/3x^3y

x，y的范围都是-a到a 并且正负对称，所以各去一半*2 ,

所以V=(6-a^2)a^2- 2/3a^4=-5/3a^4+6a^2

直圆柱：

直圆柱（如图2）也叫正圆柱、圆柱，其具有以下性质：

（1）直圆柱的两个底面是半径相等的圆；

（2）直圆柱的两个底面圆心的连线和两个底面相互垂直；

（3）直圆柱的侧面展开图为矩形。

Answer 2

画图理解即可。

图片中的叙述有误，应当是：投影到D上的第一卦限0到45度部分的立体体积

追问

图已经画了，45度这一个我也知道，我只是不理解极坐标变换x＝Rcosθ，R是常数

追答

看我画的图。
被积分的区域是x，y，即，x，y是自变量，对黄色的曲面（R是常数）积分计算体积，高度是z，等于根号的那个公式，与y无关，即，不同的y ，高度z相同。垂直于x轴做一个切面（绿色），是矩形，x=Rcosθ

追问

理解了。但如果这样设的话，则y＝Rsinθ，变换求雅可比行列式的时候不会有困难吗，因R是常数

理解了。但如果这样设的话，则y＝Rsinθ，变换求雅可比行列式的时候不会有困难吗，因R是常数

追答

改题不涉及y＝Rsinθ，如果要涉及y＝Rsinθ，积分的范围就不是0-45度，而是45-90度，根号下面就是y而不是x。空间范围不重叠。

追问

那要怎么进行极坐标变换来进行二重积分？

追答

你的图片中的Rsinθ就是根号的计算结果，几何意义就是黄色曲面的高度z。极坐标变换，按照定义即可，dxdy变成dθrdr。

追问

了解了，谢谢

Answer 3

将x写成cosθ是运用了另外一种坐标表达方式 （cylindrical coordinates）。（x, y, z)中，z不变，x，y则分别变成rcosθ和rsinθ，其中r为所表示的点在xy平面上的投影离原点的距离，θ为点到原点的直线与x轴的夹角。 因为本题中x^2+y^2=R^2所对应的所有点在xy平面的投影到原点距离都是R， 所以使用这种坐标能使运算变得简单。

追问

我明白这是个极坐标变换，但是在使用三重积分求体积的时候，所取的x和y不是应该遍历整个投影面吗？如果极坐标变换中的r成为了常量，又怎么遍历得了？

追答

正是因为r有定值这里的变换才能达到简化的效果呀，你可以想成变成极坐标后，原来的函数x平方加y平方等于r平方变成了r^2=[(Rcosθ)^2+(Rsinθ)^2], 而这个函数定义了r的取值为R

Answer 4

因为它是球，对一个圆来说，半径已知，x=rcos，y=rsin

追答

圆内任意一个点，都可以用上式表示出来

追问

圆内任意一个点被表达出来的话r也要是变量才行，不是吗？
还是说，你的意思不是这个

追答

题意，R是常量

角是变量

追问

那岂不是只能取到圆边上的点？

那岂不是只能取到圆边上的点？

Answer 5

参考答案是错的！！！极坐标替换中的 x 必须换成 rcosθ ！！！（当θ一定时，x仍是可变的，随r变化而变化）。这道题换成 Rcosθ 可解只是巧合，事实上换成 rcosθ 当然也可以解出结果，就是写起来可能稍复杂一点了，其实直接用直角坐标系分段求也是比较简便的方法。