Question

若fx为连续函数，且

第三题的b想知道为什么错的

Answer 1

方法一：任一原函数可表示为F(x)=∫x 0 f(t)dt+C，且 F′（x）=f（x） ∵当F（x）为偶函数时，有F（-x）=F（x） ∴对上式等式两边同时求导，得到-F′（-x）=F′（x） ∴-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x） ∴f（x）是奇函数反之，当f（x）为奇函数时，即f（-x）=-f（x） ∴对上式等式两边同时作变上限积分，得到∫x 0 f(-t)dt=-∫x 0 f(t)dt 令等式左边-t=u，dt=-du 将等式左边变形得到：-∫-x 0 f(u)du=-∫x 0 f(t)dt ∴∫-x 0 f(t)dt=∫x 0 f(t)dt ∴F（-x）=F（x），即F（x）为偶函数．故选：A．方法二：先令f（x）=1，则取F（x）=x+1 ∵f（x）=1是偶函数且为周期函数，但F（x）=x+1为非奇非偶函数且非周期函数 ∴选项（B）、（C）不正确 ∴排除（B）、（C）再令f（x）=x，则取F(x)=1 2 x2 ∵f（x）=x在x∈R内是增函数函数，而F(x)=1 2 x2在x∈R上是非单调函数 ∴选项（D）不正确 ∴排除（D）故选：A．