Question

如何证明不变子空间

序号为3的那题

Answer 1

证明 任取α∈V1⊥，可证Φα∈V1⊥，即Φα∈V1，事实上，任取β∈V1，由于V1是Φ的不变子空间，因此Φβ∈V1，而α∈V1⊥，故（α，Φβ）=0．
再由题设，Φ是反对称的，知
（Φα，β）=-（α，Φβ）=0，
由β的任意性，即证Φα∈V1 ．从而V1的正交补V1⊥也是Φ的不变子空间．-

Answer 2

证明 任取α∈V1⊥，可证Φα∈V1⊥，即Φα∈V1，事实上，任取β∈V1，由内于V1是Φ的不变子空容间，因此Φβ∈V1，而α∈V1⊥，故（α，Φβ）=0．
再由题设，Φ是反对称的，知
（Φα，β）=-（α，Φβ）=0，
由β的任意性，即证Φα∈V1 ．从而V1的正交补V1⊥也是Φ的不变子空间．-设W,U是V的线性变换T的不变子空间,证明：W交U,W+U也是T的不变子空间

用定义证明
(1) 对任意a,b属于 W∩U
有a,b属于 W,a,b属于 U
而W,U是V的线性变换T的不变子空间
所以 T(k1a+k2b) = k1T(a)+k2T(b) 属于 W,也属于 U
所以 T(k1a+k2b)属于 W∩U
所以 W∩U 也是T的不变子空间.
(2) W+U 中的元素都可表示为 a+b 形式,其中a属于W,b属于U.
对W+U中任意两个元素 a1+b1,a2+b2 有
T(k1(a1+b1)+k2(a2+b1))
= k1T(a1+b1)+k2T(a2+b1)
= k1(T(a1)+T(b1))+k2(T(a2)+T(b1))
= k1T(a1)+k2T(a2) + k1T(b1)+k2T(b2)
属于 W+U
所以 W+U也是T的不变子空间.

相关试题【2】我来回答
设矩阵A,B属于复数域上的n维矩阵,A,B可交换,即AB=BA,证明A的特征子空间一定是B的不变子空间

对A的属于特征值λ的特征子空间Vλ中的任一向量x
有 Ax = λx
所以 A(Bx) = BAx = λBx
所以 Bx 属于 Vλ
所以 A的特征子空间Vλ是B的不变子空间.

相关试题【3】我来回答
如何证明Im(A)是A不变子空间?

不变自空间是原空间的一个子集,对于原空间运算也构成空间且封闭★.
作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质,而不必回到原空间,从而将问题简化.

证明不变子空间的问题 我来回答
　　证明 任取α∈V1⊥，可证Φα∈V1⊥，即Φα∈V1，事实上，任取β∈V1，由于V1是Φ的不变子空间，因此Φβ∈V1，而α∈V1⊥，故（α，Φβ）=0．
　　再由题设，Φ是反对称的，知
　　（Φα，β）=-（α，Φβ）=0，
　　由β的任意性，即证Φα∈V1 ．从而V1的正交补V1⊥也是Φ的不变子空间．-

设T是线性空间V上的线性变换，W是T的不变子空间，证明，必有T的特征值 我来回答
　　你的问题叙述有不少毛病，结论是不会成立的
　　W是向量空间，T的特征值只是一个数，合理的讲法是W含有T的特征向量
　　即使做了上述修改，仍然需要对V的基域以及维数做一些要求，否则T未必存在任何特征值或特征向量
　　　　比如说，可以把问题改成
　　设T是n维复线性空间V上的线性变换，W是T的不变子空间，证明，必有T的特征向量属于W
　　　　证明很容易，取W的一组基p1,...,pk，扩张成V的一组基p1,...,pn，T在这组基下的表示矩阵一定是分块上三角阵
　　A B
　　0 C
　　然后把A上三角化即可

怎么理解不变子空间和特征子空间的关系？ 我来回答
　　对于一个线性变换来说，特征子空间一定是它的不变子空间，这直接根据定义就得到了，但反之不然。比方说，对于任意可逆矩阵来说，空间本身V就是它的一个不变子空间，但是V通常不是一个特征子空间。一个具体的例子就是二阵约当阵 [(1,1);(0,1)]它的不变子空间是空间本身，但是它只有一个特征值 1，其对应的的特征子空间是一维的。

为什么一个线性变换的值域是这个线性变换的不变子空间? 我来回答
　　应该是可逆变换，如果不是可逆变化，0就是它的一个特征值，那么关于0的特征子空间是非平凡的，由此推出矛盾。

如何求线性变换的不变子空间 我来回答
　　这是一个大课题，我们说个大概吧。设线性变换T在基底X1,……，Xn下的矩阵
　　　　为A,即（TX1,……，TXn）′＝A（X1,……，Xn）′.
　　　　把矩阵A化为Jordan标准型J:有满秩P,PAP^（-1）＝J
　　　　J＝分块对角阵（J1,……，Jk）,Ji都是Jordan块。
　　　　则关于基底PX1,……，PXn,T的矩阵为J.
　　　　在J1,……，Jk中任取j块，对应的行（列）序数为 j1,……，jt.
　　　　则PXj1,……，PXjt所张成的子空间皆为T不变子空间。
　　　　并且所有的T不变子空间都可以这样得来。

求教不变子空间直和的分解证明，拜托帮个忙 我来回答
　　首先声明，由于不同教材Jordan块的定义不同，有上Jordan块和下Jordan块，你这个题目如果结论成立，那么Jordan块必须是1在下的下Jordan块—— （1）σ(下面用f代替)把基底e1,e2,.,en(我就改一下符号了)映射为ke1,e1+ke2,e2+ke3,,en-2+ken-1。

证明 线性空间V上的线性变换T的一维不变子空间必定是由T的某个特征值生成的 我来回答
　　比如说, 这个子空间叫W, 任取W中的非零向量x, Tx属于W, 而W是一维的, 说明存在常数c使得Tx=cx

关于不变子空间的理解？ 我来回答
　　关于不变子空间的理解？1 不变子空间和特征子空间的关系？2 在矩阵可以准对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系？3 在矩阵可以对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系？ 查看原帖>>