Question

计算曲线积分i= ∮L(-ydx+xdy)/(x^2+y^2) ,其中L为沿着椭圆X^2/100+Y^2/144=1的正向逆时针方向）

Answer 1

由题设，知曲线积分的P＝-y/(x^2+y^2) 

，Q=x/(x^2+y^2) 

，且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数

容易求得：

偏Q/偏x＝(-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 ，

偏P/偏y＝(-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 ，

偏Q/偏x-偏P/偏y=0

由格林公式得∮C(xdy-ydx)/(x^2+y^2）=∫∫G（偏Q/偏x-偏P/偏y）dxdy=0

答：

用格林公式。

∫ Pdx+Qdy，即P=-y/(4x^2+y^2)，Q=x/(4x^2+y^2)。

有σP/σy=(-4x^2-y^2+2y^2)/(4x^2+y^2)^2=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2；

σQ/σx=(4x^2+y^2-8x^2)/(4x^2+y^2)=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2

得σP/σy=σQ/σx，即积分结果与路径无关。

又曲线不过原点，令x=cosθ，y=2sinθ，其中θ从0到2π。

得∫(0到2π) [2(cosθ)^2+2(sinθ)^2]/4[(cosθ)^2+(sinθ)^2] dθ

=∫(0到2π) 1/2 dθ

=π

扩展资料：

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

参考资料来源:百度百科-曲线积分