Question

二元函数的极值怎么求？

Answer 1

求 az/ax,az/ay,令az/ax=0且az/ay=0，解驻点。

求 a^2z/ax^2=A，a^2z/ay^2=C，a^2z/axay=B。

带入①的驻点求B^2-AC。

若B^2-AC0 无极值。

若B^2-AC=0 再讨论。

扩展资料：

二元函数对于f关于集合D一致连续那么对于任意给定的ε>0，存在某一个正数δ，对于D上任意一点P0，只要P在P0的δ邻域与D的交集内，就有|f(P0)-f(P)|<ε。

f在P0点可微那么△z=f(x0+△x，y+△y)-f(x0，y0)=A△x+B△y+o(ρ)，其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。

可微的充要条件是曲面z=f(x，y)在点P(x0，y0，f(x0，y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0，y0)可微。

参考资料来源：百度百科-二元函数

Answer 2

首先求临界点

对于一个多元函数f，如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0，那么这个点被称为f的临界点，也称为驻点。

例：求f(x, y) = x2 – 2xy + 3y2 + 2x – 2y只有一个临界点(-1, 0)


接着判断临界点的类型：临界点可能是极大值点 极小值点 或者鞍点 (或者什麼都不是）

f(x, y)的一个临界点是(x0, y0)，即fx(x0, y0) = 0 && fy(x0, y0) = 0，f的二阶导数是fxx,fxy,fyy 令A=fxx(x0,y0), B=fxy(x0,y0), C=fyy(x0,y0)

　　该临界点有如下结论：

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示

Answer 4

方法/步骤

5/5分步阅读

二元函数的驻点和极值的必要条件。



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二元函数极值的充分条件。（该定理的证明不作要求，“会用”即可。）



3/5

判断二元函数极值的一般步骤。（对于AC-B^2=0时极值的判断，下一节中我们会介绍一个具体例子。）



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判断函数极值点（或求函数极值）的基础例题。



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二元函数极值的几何解释。



Answer 5

求偏导数：
f'x＝(6－2x)(4y－y^2)；
f'y＝(6x－x^2)(4－2y)。
求驻点：(3，2)，(0，0)，(6，0)，(0，4)，(6，4)。
求二阶偏导数：
A＝f''xx＝－2(4y－y^2)；
B＝f''xy＝(6－2x)(4－2y)；
C＝f''yy＝－2(6x－x^2)。
记△＝B^2－AC。
在点(3，2)处，A＝－8，B＝0，C＝－18，△<0，点(3，2)是极大点。
在点(0，0)处，A＝0，B＝24，C＝0，△>0，点(0，0)不是极值点。
在点(6，0)处，A＝0，B＝－24，C＝0，△>0，点(6，0)不是极值点。
在点(0，4)处，A＝0，B＝－24，C＝0，△>0，点(0，4)不是极值点。
在点(6，4)处，A＝0，B＝24，C＝0，△>0，点(6，4)不是极值点。
所以，函数在点(3，2)处取得极大值36