Question

试证明：1²+2²+3²+……+N²=1/6N（N+1)（2N+1)

Answer 1

归纳演绎法。
已知i
=
1，
i=2，
i=3时都正确，
设
i
=
N
时正确，
那么当
i
=
N
+
1时
1²+2²+3²+……+N²
+
（N+1）
²
=
1/6N（N+1)（2N+1)
+
（N+1）
²
=
1/6（N+1)
（
N（2N+1)
+
（N+1））
=
1/6（N+1)（2N²
+
7N
+
6)
=
1/6（N+1)(N+2)(2N
+
3)
=
1/6（N+1)((N+1)
+
1)(2(N+1)
+
1)
也就是所
i
=
N+1时，
等式也成立，
证明完毕。

Answer 2

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

（n+1）³-n³=3n²+3n+1
故
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
（n+1）³-n³=3n²+3n+1
由等式的叠加性可知，左边相加=右边相加，即
（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+……+n²）+3（1+2+3+……+n）+n
n³+3n²+3n+1-1=3（1²+2²+3²+……+n²）+3×1/2n（n+1）+n
3（1²+2²+3²+……+n²）=n³+3n²+3n-1.5n²-2.5n=n³+1.5n²+0.5n=1/2n×（2n²+3n+1）
=1/2n（n+1）（2n+1）
故1²+2²+3²+……+n²=1/6n（n+1）（2n+1）

Answer 4

因为(n+1)^3
-
n^3
=
3.n^2
+
3*n
+
1
所以就有2^3
-
1^3
=
3*1^2
+
3*1
+
1

3^3
-
2^3
=
3*2^2
+
3*2
+
1

4^3
-
3^3
=
3*3^2
+
3*3
+
1

.........

(n+1)^3
-
n^3
=
3.n^2
+
3*n
+
1
以上式子相加得到
(n+1)^3
-
1
=
3*sn
+
3*n(n+1)/2
+
n
其中sn
=
1^2
+
2^2
+
3^2
+
......
+
n^2
化简整理得到：
sn
=
n*(n
+
1)*(2n
+
1)/6