Question

试在底半径为r，高为h的正圆锥内，内接一个体积最大的长方体，问这长方体的长，宽，高各应等于多少？

Answer 1

设长、宽、高分别为a、b、c，
则：长方体上顶面所接圆锥截面的半径r'=1/2*v(a^2+b^2)，
h/r=(h-c)/r'——》c=h(r-r')/r，
V=a*b*c=abh-abh*v(a^2+b^2)/2r，
dV/da=bh[1-(2a^2+b^2)/2rv(a^2+b^2)]=0，
——》2a^2+b^2=2rv(a^2+b^2)，
dV/db=ah[1-(a^2+2b^2)/2rv(a^2+b^2)]=0，
——》a^2+2b^2=2rv(a^2+b^2)，
——》a=b=2v2r/3，
——》r‘=1/2*v(a^2+b^2)=2r/3，
——》c=h(r-r')/r=h/3。