lim(x->+∞)[((1+1/x)^x)/e]^x 算的哪里有问题？
3个回答
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x→∞ 时，(1＋1/x)^x 确实趋于 e，
但其它地方仍含有 x，所以就不能局部先取极限。
照这样算的话，求极限都太简单了，
你看，x→0，f(x)＝x * [f(x) / x]→0 * [f(x)/x]＝0
正确且简单的做法是，用等价无穷小替换：
分子 (1＋1/x)^x²＝e^[x²ln(1＋1/x)]
≈ e^[x²(1/x - 1/2x²)]＝e^(x - 1/2)，
因此极限＝e^(-1/2) 。
但其它地方仍含有 x，所以就不能局部先取极限。
照这样算的话，求极限都太简单了，
你看，x→0，f(x)＝x * [f(x) / x]→0 * [f(x)/x]＝0
正确且简单的做法是，用等价无穷小替换：
分子 (1＋1/x)^x²＝e^[x²ln(1＋1/x)]
≈ e^[x²(1/x - 1/2x²)]＝e^(x - 1/2)，
因此极限＝e^(-1/2) 。
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