Question

当x→0时，求ln（1+e^(2/x)）/ln（1+e^(1/x)）的极限

Answer 1

有一个很重要的东西你要牢记，利用等价无穷小替换时x必须趋近于0，这是很重要的前提条件！举个例子，x→1时，e∧（x－1）－1是等价于x－1的，因为x→1时，（x－1）这个整体是→0的。对于你的疑难，x→0-时，2/x是趋近于负无穷，此时e∧（2/x）趋近于0，所以ln（1
e∧（2/x））～e∧（2/x），同理ln（1
e∧（1/x））～e∧（1/x），而x→0
时，2/x→正无穷，此时e∧（2/x）→正无穷而不趋近于0，因此不能用等价无穷小替换，解答过程前面已有。

Answer 2

在x趋于0的时候，
e^x(sinx)^2也趋于0，
那么
ln[1+e^x(sinx)^2]就等价于e^x(sinx)^2，
而此时e^x趋于1，所以ln[1+e^x(sinx)^2]就等价于(sinx)^2
而分母√(1+x^2)-1等价于0.5x^2
所以
原极限
=lim(x→0)
(sinx)^2
/
(0.5x^2)
=lim(x→0)
2(sinx)^2
/
x^2
显然由重要极限知道lim(x→0)
sinx
/
x=1
=
2