Question

根据函数定义证明:函数f(x)当x接近x。时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

Answer 1

证明:
"=>"
　　若lim
f(x)当x->x0存在，不妨假设lim
f(x)=A当x->x0
所以，对于∀ε>0,∃δ0>0,当0<|x-x0|<δ0时|f(x)-A|<ε，
所以上述ε>0，取δ1=δ0，当x0<x<x0+δ1时|f(x)-A|<ε，
即
lim
f(x)=A当x->x0+
同理limf(x)=A.
"<="
若f(x)当x->x0时左极限、右极限都存在并且相等.
不妨设lim
f(x)当x->x0+
=
lim
f(x)当x->x0-=A
所以
对∀ε>0,∃δ1>0，当x0<x<x0+δ1时，|f(x)-A|<ε
∃δ2>0，当x0-德尔塔2<x<x0时，|f(x)-A|<ε，
所以
对上述ε>0，取δ=min{δ1，δ2}，当0<|x-x0|<δ时，
|f(x)-A|<ε，即
lim
f(x)
=
A当x->x0时。

Answer 2

设f(x0)=a,
必要性：
任意给定ε>0,由于f(x)在x0处极限为a，故存在δ>0，使得对于满足0<|x-x0|<δ的一切x都成立
|f(x)-a|<ε.
只要x0
0.由于左右极限相等且为a，存在正数δ1和δ2使得
x0
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