Question

已知数列{an}的前n项和为sn,且sn=(an+1)^2/4

Answer 1

题目应该是抄漏了，{an}各项均为正数。
解：
n=1时，a1=S1=(a1+1)²/4
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(an+1)²/4-[a(n-1)+1]²/4
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
如果有数列各项均为正的条件，那么：
an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
如果没有这个条件，除了上面的通项公式外，还有一种情况：
an+a(n-1)=0
an=-a(n-1)
数列是1，-1，1，-1，……的交错数列。
an=(-1)^(n+1)

Answer 2

s1=a1=(a1
+1/a1
)
/2
推出a1=1
s2
=a1+a2
=1+a2
=
(a2
+1/a2)
/2
推出a2=√2
-1
s2
=a1+a2+a3
=√2
+a3=
(a3
+1/a3)
/2
推出a3
=√3
-√2
猜想an
=√n
-√(n-1)
以下用数学归纳法证明
当n=1时成立显然成立
设n=k时成立,即ak
=√k
-√(k-1)
则n=k+1时
s(k+1)=sk+a(k+1)
=
[a(k+1)
+1/a(k+1)]
/2
将sk用ak带入得：
(ak
+1/ak)/2+a(k+1)
=[a(k+1)
+1/a(k+1)]
/2
整理得ak
+1/ak+a(k+1)-1/a(k+1)=0
而ak
+1/ak
=√k
-√(k-1)
+1/[√k
-√(k-1)]
=√k
-√(k-1)+(√k
+√(k-1)]
=2√k
所以有a(k+1)-1/a(k+1)+2√k
=0
[a(k+1)]²+2√k
a(k+1)-1
=0
解得：a(k+1)=√(k+1)
-√k
或者a(k+1)=-√(k+1)
-√k
(负数
舍去)
所以n=k+1时an
=√n
-√(n-1)也成立
所以,｛an｝的通项公式:
an
=√n
-√(n-1)