Question

sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an²+2an=4Sn+3

Answer 1

n≥2时，

an²+2an=4Sn+3

a(n-1)²+2a(n-1)=4S(n-1)+3

an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)=4[Sn-S(n-1)]=4an

an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0

[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0

[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0

an>0，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-2=0

an-a(n-1)=2，为定值

数列{an}是以2为公差的等差数列。

扩展资料：

等差数列其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

Answer 2

n≥2时，
an²+2an=4Sn+3
a(n-1)²+2a(n-1)=4S(n-1)+3
an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)=4[Sn-S(n-1)]=4an
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an>0，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值
数列{an}是以2为公差的等差数列。