Question

在数列An中，A1=1，An+1=2An+2的n次方。（1）设Bn=An/2的（次方减1），证明：Bn是等差数列。（2）求数列An

Answer 1

b[n+1]-b[n]=a[n+1]/2^n-a[n]/2^(n-1)=2a[n]/2^n+2^n/2^n-a[n]/2^(n-1)=1
=>数列{b[n]}是公差为1的等差数列
a[1]=1=(1*2-1)*2^0
当n=k时a[k]=(2k-1)*2^(k-1)
当n=k+1时a[k+1]=2a[k]+2^(k+1)=(2k-1)*2^k+2*2^k=(2(k+1)-1)*2^k
=>a[n]=(2n-1)*2^(n-1)=n*2^n-2^(n-1)对所有n∈n*成立
s[n]=2s[n]-s[n]=n*2^(n+1)-2-1-σ2^(i+1)+2^n=n*2^(n+1)-6-3*2^n

Answer 2

解：
1，A(n+1)=2An+2^n，
两边除以2^n得
A(n+1)/2^n=An/2^(n-1)+1，
即B(n+1)=Bn
+1，
Bn是等差数列。
2，B1=A1=1，
则Bn=n，
即An=n2^(n-1)
Sn=1+2*2^1+3*2^2+....+n2^(n-1)
2Sn=2+2*2^2+3*2^3+....+n2^n，
相减得
Sn=n2^n-(1+2^1+2^2+...+2^(n-1))
=n2^n-(1-2^n)/(1-2)
=(n-1)2^n
+1。