Question

求lim（x趋于0）[cos（sinx）-cosx] / [(sinx)^3]

Answer 1

lim(x->0){[cos(sinx)-cosx]/sin³x}
=lim(x->0){-2sin[(sinx+x)/2]sin[(sinx-x)/2]/sin³x} (应用余弦和差角公式)
=(-1/2)lim(x->0)【{sin[(sinx+x)/2]/[(sinx+x)/2]}{sin[(sinx-x)/2]/[(sinx-x)/2]}(x/sinx)³[(sin²x-x²)/x³]】
=(-1/2)lim(x->0){sin[(sinx+x)/2]/[(sinx+x)/2]}*lim(x->0){sin[(sinx-x)/2]/[(sinx-x)/2]}*
*lim(x->0)[(x/sinx)³]*lim(x->0)[(sin²x-x²)/x³]
=(-1/2)*1*1*1³*lim(x->0)[(sin²x-x²)/x³] (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=(-1/2)lim(x->0)[(sin²x-x²)/x³]
=(-1/2)lim(x->0){[sin(2x)-2x]/(3x²)} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=(-1/2)lim(x->0){[cos(2x)-1]/(3x)} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=(-1/2)lim(x->0){[-2sin(2x)]/3} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=(-1/2)*[(-2/3)*0]
=0.