Question

设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B，求实数a的取值范围。

Answer 1

x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0或x=-4
A={0，-4}
对于方程x²+2(a+1)x+a²-1=0
方程无解时，8a+8<0a<-1
方程有两相等实根时，8a+8=0a=-1
方程变为x²=0x=0
方程有两不相等的实数根时，8a+8>0a>-1
A∩B=BB是A的子集，B可以为空集，或B仅有一实数根，且此根∈A，或者方程有两不相等的实数根，且此两根分别为0和-4
根据根的判别式：
4(a+1)²-4(a²-1)=4a²+8a+4-4a²+4=8a+8
令8a+8<0a<-1
令8a+8=0a=-1方程变为x²=0x=0，满足题意。
令8a+8>0a>-1
x=0代入方程：
a²-1=0a=-1(舍去)或a=1
方程变为x²+4x=0x(x+4)=0x=0或x=-4，满足题意。
综上，得a≤-1或a=1

Answer 2

x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0或x=-4
A={0，-4}
对于方程x²+2(a+1)x+a²-1=0
方程无解时，8a+8<0
a<-1
方程有两相等
实根
时，8a+8=0
a=-1
方程变为x²=0
x=0
方程有两不相等的
实数根
时，8a+8>0
a>-1
A∩B=B
B是A的子集，B可以为空集，或B仅有一实数根，且此根∈A，或者方程有两不相等的实数根，且此两根分别为0和-4
判别式：
4(a+1)²-4(a²-1)=4a²+8a+4-4a²+4=8a+8
令8a+8<0
a<-1
令8a+8=0
a=-1
方程变为x²=0
x=0，满足
题意
。
令8a+8>0
a>-1
x=0代入方程：
a²-1=0
a=-1(舍去)或a=1
方程变为x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0或x=-4，满足题意。
综上，得a≤-1或a=1