Question

求微分方程的特解：y''+(y')^2=1 当x=0时，y=y'=0

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

令p=y'，得p*dp/dy＋p^2=1
对应齐次方程为p*dp/dy=-p^2
dp/p=-dy
ln|p|=-y＋ln|C|
得p=Ce^(-y)
用常数变易法，得p=ue^(-y)
代入p*dp/dy＋p^2=1，解得udu/dy=e^(2y)
即u^2/2=1/2*e^(2y)＋C'/2
u=√(e^(2y)＋C1)
即p=e^(-y)√(e^2y＋C1)
又y=p=0，得C1=-1
dy/dx=√(1-e^(-2y)
所以dy/√(1-e^(-2y))=dx
-ln[(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)]=x-ln|C2|
代入x=y=0，得ln|C2|=0
所以(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)=e^(-x)
故所求微分方程特解为1-e^(-x)e^(-y)=√(1-e^(-2y))

Answer 3

一阶微分方程，直接套公式
y=(2e^∫dx
+
c)·e^(-∫dx)
=（2e^x
+
c）·e^(-x)
把x=0代进去
得
1=
2+c
得出
c=
-1
所以特解
y=（2e^x
－1）·e^(-x)