如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．求证：AC+CD=AB
如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．求证：AC+CD=AB．...
如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线． 求证：AC+CD=AB．
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解答：证明：
过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠A的平分线，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE2=AD2-DE2，AC2=AD2-DC2，
∵AD=AD，DE=DC，
∴AE=AC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°=∠B，
∴BE=DE=DC，
∴AB=AE+BE=AC+CD，
即AC+CD=AB．
过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠A的平分线，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE2=AD2-DE2，AC2=AD2-DC2，
∵AD=AD，DE=DC，
∴AE=AC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°=∠B，
∴BE=DE=DC，
∴AB=AE+BE=AC+CD，
即AC+CD=AB．
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