Question

已知函数f(x)=sinx+cosx,f'(x)是f(x)的导函数

(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+f的平方(x)的最大值和最小正周期.(2)若f(x)=2f'(x),求tan(x-4分之太)的值

Answer 1

解：（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=sinx-cosx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+π4)+1
当
2x+π4=2kπ+π2⇒x=kπ+π8(k∈Z)时，
[F(x)]max=2+1=3
最小正周期为
T=2π2=π
（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得
tanx=13
∴
tan(x-π/4)=[tanx-tan(π/4)]/[1+tanxtan(π/4)]=(13-1)/(1+13)=12/13