Question

一元三次方程高中解法

Answer 1

如果一元三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别是x1，x2，x3，

那么有ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)，

将等式左边展开整理：

ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x-ax1x2x3。

根据一个等式，等号两边的系数相等，有

-a(x1+x2+x3)=b，a(x1x2+x2x3+x1x3)=c，ax1x2x3=d，

所以得到一元三次方程根和系数的关系为

x1+x2+x3=-b/a，x1x2+x2x3+x1x3=c/a，x1x2x3=-d/a。

一元三次方程根的判断

将ax^3+bx^2+cx+d=（a≠0）转化成y^3+py+q=0的形式，这里可令x=y-b/3a代入方程中整理后，再根据系数对应相等设p=1/a(c-b^2/3a)，q=1/a(2b^3/27a^2-bc/3a+d)可得到y^3+py+q=0，这部只为消去次高项。

这样一元三次方程就可以根据卡尔丹判别法来判断根的情况。

令△=（q/2）^2+（p/3）^3则：

当△＞0时，方程有一个实根，一对共轭复根，如z±ai就是一对共轭复数；

当△=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根，如(x-1)^2=0，x=1就是二重根；

当△＜0时，方程有三个不相等的实根。

Answer 2